Dôkazy ekvivalentných podmienok pre Riemannovu hypotézu

Autor: Ing. Robert Polák (Robopol)

Dátum: 17.03.2022

Abstrakt

Hľadanie dôkazov ekvivalentných podmienok pre Riemannovu hypotézu. Ekvivalentné podmienky boli vytvorené v minulosti autormi: Srinivasa Ramanujan, Lagarias, Gronwall, Robin.

Úvod

Táto publikácia je venovaná hľadaniu dôkazov v prospech Riemannovej hypotézy. Nadväzuje priamo na články referencia (7),(8),(9). Články referencia (7),(8),(9) obsahujú postupnosť mojich úvah ako nájsť dôkaz ekvivalentných podmienok pre RH, ako urobil v minulosti Srinivasa Ramanujan (Ramanudžan), Lagarias, Gronwall ,Robin (viď. referencie (1),(2)). Túto publikáciu treba vnímať v kontexte článkov - referencie (7),(8),(9). V publikácii budem postupne predkladať kroky, postupy, ktoré vedú na dôkaz ekvivalentných podmienok pre RH. POZNÁMKA: log x=ln x, vo vzťahoch nižšie je log x - prirodzený logaritmus.

Referencie (1), (2), (5)

Citácia:

Funkcia súčtu deliteľov \(\sigma\) je definovaná ako

\[ \sigma(n) := \sum_{d | n} d \]

Napríklad, \(\sigma(4) = 7\) a \(\sigma(p^n) = (p + 1)\sigma(n)\), ak \(p\) je prvočíslo nedeliteľné \(n\). V roku 1913 švédsky matematik Thomas Gronwall našiel maximálny poriadok \(\sigma\).

Teorém 1. (Gronwall)

\[ G(n) := \frac{\sigma(n)}{n \log (\log n)} \]

spĺňa \(\lim\limits_{n \to \infty} \sup G(n) = e^{\gamma} = 1.78107...\), kde \(\gamma\) je Euler-Mascheroniho konštanta.

Teorém 2. (Ramanujan)

Ak platí Riemannova hypotéza, potom

\[ G(n) < e^{\gamma} \quad (n \gg 1) \]

Kde \(n \gg 1\) znamená pre všetky dostatočne veľké \(n\). V roku 1984 francúzsky matematik Guy Robin dokázal, že silnejšie tvrdenie o funkcii \(G\) je ekvivalentné s RH.

Teorém 3. (Robin)

Riemannova hypotéza platí práve vtedy, ak

\[ G(n) < e^{\gamma} , \quad (n > 5040) \]

Teorém 4. (Lagarias)

Riemannova hypotéza platí práve vtedy, ak

\[ \sigma(n) < H_n + \exp(H_n) \log(H_n) \quad (n > 1) \]

kde \(H_n\) označuje \(n\)-té harmonické číslo:

\[ H_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... \]
\[ \sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n} = \ln k + \gamma + \epsilon_k \leq \ln k + 1, \quad \epsilon_k \sim \frac{1}{2k} \]

Numerické testy

Numerické testy sú podrobne popísané v článku – referencia (7), a pokročilé testy – referencia (8)

Obrázok 1
Obrázok 2

obr.1 Guy Robin test pre menšie a pokročilé testovanie.

Poznámka

Ideálne čísla sú v literatúre nazývané highly composite numbers.

Final verzia Riemann

Referencia (10):

Stiahnutie súboru v Pythone – Github: riemann_hypothesis_final.py

POPIS

Algoritmus obsahuje výpočet Guy Robin rovnice pre rôzne sekvencie, pre preverenie platnosti Riemannovej hypotézy. Optimálne trvá výpočet pre sekvenciu 3: 40000 ideálnych čísel zhruba 1–2 minúty.

Pokročilé testovanie

Verzia Riemann test (zdrojový kód programu)

Stiahnutie súboru v Pythone – Github: Riemann_test.py

Výsledky

Hodnota \(e^\gamma\) nebola prekročená. Test bol vykonaný až pre vysoko-zložené číslo pozostávajúce z prvých 500 tisíc prvočísiel násobených medzi sebou. Číslo "N" malo hodnotu až 3 201 675 číslic.

Výpočet sigma

Vo vzťahoch pre \(G(n)\) v zmysle Gronwall, Robin vystupuje:

\[ G(n): \]

Príklad: \( n = 12, \; \sigma(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 \)

Každé číslo je možné rozložiť na prvočíselné činitele:

\[ n = \prod_{i,j} p_i^{j_i} \quad , \; p_i \in \text{prvočísla}, \; j_i \in \mathbb{N} \quad \text{(1.1)} \]

Príklad: \( n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \)

Definujme jednoduchú postupnosť:

\[ n = \prod_{i} p_i \quad , \; p_i \in \text{prvočísla} \quad \text{(1.2)} \]

Potom platí:

\[ \sigma(n) = \prod_{p_i \in \text{prime}} (p_i + 1) \quad \text{(1.3)} \]
\[ \frac{\sigma(n)}{n} = \prod_{p_i \in \text{prime}} \left( 1 + \frac{1}{p_i} \right) \quad \text{(1.4)} \]

Príklad: \( n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 30030 \)

Pre (1.1) platí:

\[ \sigma(n) = \prod_{p_i \in \text{prime}} \left(1 + p_i + p_i^2 + p_i^3 + \dots + p_i^{j_i} \right) \quad \text{(1.5)}\]
\[ \frac{\sigma(n)}{n} = \prod_{p_i \in \text{prime}} \frac{1 + p_i + p_i^2 + p_i^3 + \dots + p_i^{j_i}}{p_i^{j_i}} \quad \text{(1.6)}\]

Príklad: \( n = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 5040 \)

\( \sigma(n) = (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4) \cdot (1 + 3 + 3^2) \cdot (5 + 1) \cdot (7 + 1) = 19344 \)

Vysoko zložené čísla

Definujme postupnosť (3) – vysoko zložené čísla. Vysoko zložené čísla sú také, kde maximalizujeme vzťah \(\sigma(n)/n\).

\[ \sup \frac{\sigma(n)}{n} = \sup \prod_{p_i \in \text{prime}} \frac{(1+p_i + p_i^2 + p_i^3 + \dots+ p_i^{j_i})}{p_i^{j_i}} \quad \text{(1.7)} \]

Príklad: \( n = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 720720 \)

\( \sigma(n) = 3249792,\quad \sigma(n)/n = 4.509 \)

Úprava rovnice (1.5):

Podľa referencie (2), strana 9:

\[ \sigma(n) = \prod_{p_i \in \text{prime}} \left(1 + p_i + p_i^2 + p_i^3 + \dots+ p_i^{j_i} \right) = \prod_{p_i \in \text{prime}} \frac{p_i^{j_i+1} - 1}{p_i - 1} \quad \text{(1.8)} \]

Dosadenie do rovnice (1.7):

\[ \sup \frac{\sigma(n)}{n} = \sup \prod_{p_i \in \text{prime}} \frac{p_i^{j_i+1} - 1}{(p_i - 1) p_i^{j_i}} \quad \text{(1.9)} \]
\[ \frac{\sigma(n)}{n} = (2 - 2^{-j_2}) (3/2 - 3^{-j_3}/2) (5/4 - 5^{-j_5}/4) (7/6 - 7^{-j_7}/6) \dots \quad \text{(1.10)} \]
\[ \frac{\sigma(n)}{n} = \prod_{p_i \in \text{prime}} \left(\frac{p_i}{p_i - 1} - \frac{p_i^{-j_i}}{p_i - 1} \right) \quad \text{(2.0)} \]

Definícia \(\beta(n)\):

\[ \beta(n) := \prod_{p_i \in \text{prime}} \frac{p_i}{p_i - 1} , \quad \beta(n) > \sup \frac{\sigma(n)}{n} \quad \text{(2.1)} \]

Reformulácia podmienok RH

Z empirického testovania s využitím programovacieho jazyka Python je zobrazený priebeh pre sekvenciu (1) a sekvenciu (3). (Viac v článku – referencia (8)).

Tabuľka č.1

tab. č.1 sekvencia (1)

Tabuľka č.2

tab. č.2 sekvencia (3)

Testovacia sekvencia (1)

Počiatočný test:

\[ n = \prod_{p_1 \in \text{prime}}^{p_{10000}} p_i, \quad \text{posledné prvočíslo} = p_{1000} = 104729 \]

Konečný test:

\[ n = \prod_{p_1 \in \text{prime}}^{p_{500000}} p_i, \quad \text{posledné prvočíslo} = p_{500000} = 7368787 \]

Testovacia sekvencia (3) – vysoko zložené čísla

V zmysle rovnice (1.7) a tabuľky č.2, pre vysoko zložené čísla:

Počiatočný test:

\[ n = \sup \prod_{p_1 \in \text{prime}}^{p_{10000}} p_i^{j_i}, \quad \text{posledné prvočíslo} = p_{1000} = 104729 \]

Konečný test:

\[ n = \sup \prod_{p_1 \in \text{prime}}^{p_{300000}} p_i^{j_i}, \quad \text{posledné prvočíslo} = p_{300000} = 4256233 \]

Výsledky numerických testov

Numerické testovanie ukazuje, že nasledujúce tvrdenia zrejme platia:

\[ \text{posledné prvočíslo} = p_n, \quad \log(n) \approx p_n \quad \text{(2.2)} \]

Pre sekvenciu (1):

\[ \log(n) < \text{posledné prvočíslo}, \quad \text{alebo} \quad \log(n) < p_n \quad \text{(2.3)} \]

Pre sekvenciu (3) – vysoko zložené čísla:

\[ \log(n) > \text{posledné prvočíslo}, \quad \text{alebo} \quad \log(n) > p_n \quad \text{(2.4)} \]

Dôkazy pre (2.3) a (2.4) sú v dodatku, viď. https://www.poling.sk/Riemann/Appendix_RH.html

Lagariasov teorém

\[ \sigma(n) < \log(n) + \gamma + \varepsilon + e^{\ln(n)+\gamma+\varepsilon} \log(\log(n) + \gamma + \varepsilon) \quad \text{(2.5)} \]

Toto vytvára limitu pre Gronwall teorém, pričom pre \(N \to \infty\), \( \varepsilon = 0 \):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sigma(n)}{n \log(\log(n))} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log(n) + \gamma + n e^{\gamma} e^{\varepsilon} \log(\log(n)+\gamma)}{n \log(\log(n))} = e^{\gamma} \quad \text{(2.7)} \]

Guy Robin teorém

\[ \frac{\sigma(n)}{n} < e^{\gamma} \log(\log n) \quad \text{pre} \quad n > 5040 \quad \text{(2.8)} \]

V tejto stati vznikne silnejší teorém a pokiaľ sa ho podarí preukázať, platia aj zvyšné tvrdenia (Robin, Lagarias). Tento teorém je naviazaný na vysoko–zložené čísla, kde každé číslo \(n\) je práve vysoko–zložené číslo.

Robopol teorém

Pre vysoko zložené čísla v zmysle rovníc (1.7) a (2.1) dostávame:

\[ \beta(n) < e^\gamma \log(\log n) \quad \text{(3.0)} \]
\[ \prod_{p_i \in \text{prime}}^{p_n} \frac{p_i}{p_i - 1} < e^\gamma \log(\log(n)) \quad \text{(3.1)} \]

Pre vysoko zložené čísla – \(n\), ak \( p_n \geq p_{10} \).

Pre vysoko zložené čísla v zmysle rovnice (2.4), tabuľka č.2 dostávame:

\[ \prod_{p_i \in \text{prime}}^{p_n} \frac{p_i}{p_i - 1} < e^\gamma \log(p_n) \quad \text{(3.2)} \]

Pre vysoko zložené čísla – \(n\), ak \( p_n \geq p_{100} \).

Silnejšie tvrdenie ako rovnica (2.8)

Rovnice (3.1) a (3.2) sú silnejším tvrdením ako rovnica (2.8), pretože:

\[ \beta(n) > \sup \frac{\sigma(n)}{n} \quad \text{a} \quad \log(n) > p_n \quad \text{pre vysoko zložené číslo } n \quad \text{(3.3)} \]

Test Robopol teorému

Program (v Pythone) testuje Robopol teorém:

Referencia (10)

Stiahnutie súboru na GitHub: sigma-max_test.py

Tabuľka č.3 ukazuje výsledky testov pre veľmi veľké čísla:

Tabuľka č.3
Tabuľka č.3

tab. No. 3 Test robopol teorému pre veľmi veľké čísla.

Z tabuľky a grafu je vidieť, že je teorém veľmi tesne splnený a smerom k nekonečnu sa mierne priebehy rozchádzajú. To znamená, že teorém by mohol platiť (ako silnejšie tvrdenie oproti Robin teorému) do nekonečna. Na to však potrebujeme dôkaz. Samozrejme, toto platí v zmysle rovnice (3.2) pre vysoko–zložené čísla, ktoré sú už dostatočne veľké.

Dôkaz Robopol teorému iným spôsobom obsahuje dodatok č. 2.

Aproximácia \( \pi(x) \)

Graf funkcie \(\pi(x)\)

Obrázok č.2: Hodnoty \(\pi(n)\) pre prvých 60 kladných celých čísel, zdroj: Wikipedia.

Funkcia počítania prvočísel

\[ \pi(x) \approx \frac{x}{\log x}, \quad \text{rok: 1792} \quad \text{(3.3)} \]
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \log(x)} = 1 \quad \text{(3.4)} \]

Presnejšia aproximácia \(\pi(x)\)

\[ \pi(x) \approx \text{Li}(x) := \int_2^x \frac{dt}{\log t} \quad \text{(3.5)} \]
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\text{Li}(x)}{\pi(x)} = 1 \quad \text{(3.6)} \]
Porovnanie aproximácií \(\pi(x)\)

Obrázok č.3: Graf ukazujúci pomer funkcie počítania prvočísel \(\pi(x)\) k dvom jej aproximáciám: \(x / \log x\) a \(\text{Li}(x)\). Zdroj: Wikipedia.

Podľa zdroja (3) platí:

V práci Pierrea Dusarta existujú silnejšie verzie tohto typu nerovnosti, ktoré sú platné pre väčšie \(x\). Neskôr v roku 2010 Dusart dokázal:

\[ \frac{x}{\log(x)-1} < \pi(x) < \frac{x}{\log(x)-1.1} \quad \text{(3.7)} \]

De la Vallée Poussinov dôkaz naznačuje nasledujúce tvrdenie: Pre každé \(\varepsilon > 0\) existuje \(S\), také že pre všetky \(x > S\) platí:

\[ \frac{x}{\log(x)-(1-\varepsilon)} < \pi(x) < \frac{x}{\log(x)-(1+\varepsilon)} \quad \text{(3.8)} \]

Vzťah (3.8) je veľmi dôležitý pre následné dokazovanie.

Hovorí, že aproximácia \( \frac{x}{\log(x)-1} \) je tá, ktorá by mala byť približne rovná \( \pi(x) \) smerom k nekonečnu. Teda ide o kritickú hranicu (stred, linku). Zapíšme to:

\[ \pi(x) \approx \frac{x}{\log(x)-1} \quad \text{(3.9)} \]
\[ \lim_{x \to \infty} \pi(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\log(x)-1} \quad \text{(3.10)} \]

Príklad

Pre \(x = 10^{25}\):

\[ \pi(10^{25}) = 176846309399143769411680 \]
\[ \frac{10^{25}}{\log(10^{25})-(1+0.019)} \approx \pi(10^{20}) \sim 2.02482 \cdot 10^{18} \]
\[ \frac{10^{25}}{\log(10^{25})-(1+0.019)} > \pi(10^{20}) \]

Robopol teorém súvislosti

V zmysle rovnice (3.2) odvodíme ďalšie súvislosti, ktoré by mali platiť.

Robopol teorém súvislosti

Obrázok č.4: Priebeh grafu – Robopolov teorém (pre veľmi veľké čísla).

Tvrdenie (1.0)

Nech platí na celom definičnom obore rovnica (3.2):

\[ \beta(p_{k+1}) - \beta(p_k) \approx e^{\gamma} \log(p_{k+1}) - e^{\gamma} \log(p_k) \quad \text{(4.0)} \]
Vyjadrenie rovnice 4.0

Obrázok č.5: Geometrická interpretácia rovnice 4.0.

Modifikácia rovnice (4.0)

\[ \prod_{p_i \in \text{prime}}^{p_{k+1}} \frac{p_i}{p_i - 1} - \prod_{p_i \in \text{prime}}^{p_k} \frac{p_i}{p_i - 1} \approx e^{\gamma} \log(p_{k+1}) - e^{\gamma} \log(p_k) \quad \text{(4.1)} \]
\[ \varepsilon_k = \prod_{p_i \in \text{prime}}^{p_k} \frac{p_i}{p_i - 1} , \quad \omega_k = \log(p_k) e^{\gamma} \quad \text{(4.2)} \]

Identifikácia počiatočných bodov

V zmysle obrázka č.6 stotožníme počiatočné body v \( p_k \):

\[ p_k^* = \varepsilon_k = \omega_k \]
Grafické vyjadrenie rovnice

Obrázok č.6: Grafické znázornenie počiatočných bodov v \( p_k \).

\[ \Delta \varepsilon_k = \varepsilon_k \frac{p_{k+1}}{p_{k+1} - 1} - \varepsilon_k = \varepsilon_k \left(\frac{p_{k+1}}{p_{k+1} - 1} - 1\right) \quad \text{(4.3)} \]
\[ \Delta \omega_k = e^{\gamma} (\log(p_{k+1}) - \log(p_k)) \quad \text{(4.4)} \]

V zmysle rovnice (4.1):

\[ \Delta \omega_k \approx \Delta \varepsilon_k, \quad e^{\gamma} (\ln(p_{k+1}) - \ln(p_k)) \approx \varepsilon_k \frac{p_{k+1}}{p_{k+1}-1} - \varepsilon_k \quad \text{(4.5)} \]

Po dosadení do rovnice (4.5) \( \varepsilon_k = \omega_k \) dostávame:

\[ e^{\gamma} \log(p_{k+1}) - e^{\gamma} \log(p_k) \approx \log(p_{k+1}) e^{\gamma} \frac{p_{k+1}}{p_{k+1} - 1} - \log(p_k) e^{\gamma} \quad \text{(4.6)} \]
\[ \log(p_{k+1}) \approx \log(p_k) \frac{p_{k+1}}{p_{k+1}-1} \quad \text{(4.7)} \]

Príklad

Pre veľmi veľké prvočísla:

\[ p_{999,999,999} = 22801763477 \]
\[ p_{1,000,000,000} = 22801763489 \]
\[ \log(22801763489) \approx \log(22801763477) \cdot \frac{22801763489}{22801763489-1} \]

Tvrdenie (2.0)

Nech existuje hladká, spojitá funkcia \( g(x) = f(x) \), ktorá aproximuje \( \pi(x) \) tak, že platí smerom k nekonečnu:

\[ \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \pi(x) \quad \text{(4.8)} \]

Tvrdeniu (2.0) vyhovuje v zmysle rovníc (3.8) a (3.9):

\[ g(x) = \frac{x}{\log(x)-1} \quad \text{(4.9)} \]

Tvrdenie (3.0)

Nech platí na definičnom obore funkcie \( g(x) \) pre všetky \( x \geq 100 \) v zmysle rovnice (4.7) táto rovnica:

\[ \log(x + \Delta x) \geq \log(x) \frac{x+\Delta x}{x+\Delta x-1} \quad \text{(4.10)} \]

Kde \( \Delta x \) predstavuje horizontálnu vzdialenosť podľa obrázka č.7.

Horizontálna vzdialenosť v rovnici 4.10

Obrázok č.7: Horizontálna vzdialenosť \( \Delta x \) v zmysle rovnice (4.10).

Zadefinujme najskôr rovnicu v zmysle obrázka č.7:

\[ \frac{x}{\log(x)-1} + 1 = \frac{x+\Delta x}{\log(x+\Delta x)-1} \quad \text{(5.0)} \]

Alebo alternatívne:

\[ \frac{x}{\log(x)-1} = 1 + \frac{x-\Delta x}{\log(x-\Delta x)-1} \quad \text{(5.1)} \]

Pointa tvrdení (1.0), (2.0) a (3.0)

Pointa tvrdení (1.0), (2.0) a (3.0) je v tom, že ak je splnená rovnica (4.10) na celom definičnom obore \( x > 100 \) - pre všetky \( \Delta x \), ktoré vypočítame z rovnice (5.1) – potom nutne platí aj teorém, tj. rovnice (3.0) a (3.2). Zadefinujeme to do tvrdenia (4.0).

Tvrdenie (4.0)

Ak platí rovnica (4.10) pre všetky \( x > 100 \), pričom \( \Delta x \) vypočítame z rovnice (5.1), potom nutne platí aj teorém - rovnica (3.0) a (3.2).

Vysvetlenie

Rovnica (4.10) je pomerne jednoduchá a intuitívna. Je už spojitá oproti pôvodnej (4.7), ktorá obsahovala iba približné hodnoty, pretože prvočísla v \(x\) vykazujú drobné fluktuácie od strednej hodnoty vyhladenej funkcie, ktorá by ich dokázala dokonale aproximovať (ako hladká krivka bez ozubenia).

\[ \log(p_{k+1}) > \log(p_k) \frac{p_{k+1}}{p_{k+1}-1} \quad \text{(5.2)} \]

Teda, aby sme potvrdili platnosť rovníc (3.0) a (3.2), preskúmame (5.2) v ľubovoľnom bode \(p_k\) a jeho suseda \(p_{k+1}\) - a to na vyhladenej funkcii \(g(x)\) pre všetky \(x > 100\). Ak preukážeme platnosť pre všetky \(x\), potom je zrejmé, že aj rovnice (3.0) a (3.2) musia platiť.

Niekto by mohol namietať, že \(g(x)\) neaproximuje \(\pi(x)\) dobre pre malé hodnoty, teda pre malé \(x\) platí, že \(g(x) < \pi(x)\). No zároveň vieme, že limitne \(g(x)\) doháňa \(\pi(x)\) (v zmysle rovnice (4.8)). Teda ak limitne \(g(x)\) doháňa \(\pi(x)\), je zjavné, že smerom k nekonečnu – sklon \(g(x)\) rastie viac než sklon \(\pi(x)\).

Z numerických testov (tabuľka č. 3) je preukázané, že rovnice (3.0) a (3.2) platia pre veľmi veľké čísla - konkrétne pre vysoko zložené čísla s \(p_n\) uvedenými v tabuľke č. 3. Súčasne vidíme, že krivky sa mierne rozchádzajú, pričom má stále viac navrch \( e^{\log(p_n)} \).

V nasledujúcich statiach sa teda pokúsim dokázať, že kľúčové tvrdenie (4.0) naozaj platí.

Upravenie rovnice (4.10)

Upravme rovnicu (4.10) nasledovne:

\[ \log(x + \Delta x) \geq \log(x) \frac{x+\Delta x}{x+\Delta x-1} \]

Použijeme substitúciu: \( x + \Delta x = t \).

\[ \log(t) \geq \log(t - \Delta x) \frac{t}{t-1} \]
\[ \log(t - \Delta x) \geq \frac{\log(t) \cdot (t-1)}{t} \]

Eliminujeme logaritmus:

\[ t - \Delta x \geq t^{(t-1)/t} \quad \text{(5.3)} \]
\[ \Delta x \geq t - t^{(t-1)/t} \]

Definícia \( \Delta x_{min} \)

\[ \Delta x_{min} := t - t^{(t-1)/t} \quad \text{(5.4)} \]
\[ \Delta x \geq \Delta x_{min} \quad \text{(5.5)} \]

Derivácia funkcie

\[ \frac{d}{dt} \Bigl(t - t^{(t-1)/t}\Bigr) = t^{-(t+1)/t} \left( t + \log(t) - 1 \right) \quad \text{(5.6)} \]

Limita funkcie

\[ \lim_{t \to \infty} t^{-(t+1)/t} \left( t + \log(t) - 1 \right) = 1 \quad \text{(5.7)} \]

Príklad

Pre hodnotu \( t = 1000 \):

\[ \Delta x = 1000 - 1000^{(1000-1)/1000} = 6.883951579\ldots \]

Výpočet hodnoty \( x \):

\[ x = t - \Delta x_{min} = 1000 - 6.883951579 = 993.116048420\ldots \]

Overenie rovnice:

\[ \log(x + \Delta x_{min}) = \log(x) \frac{x+\Delta x_{min}}{x+\Delta x_{min}-1} \]

Po dosadení hodnôt:

\[ \log(1000) = \log(993.116048420) \cdot \frac{993.116048420+6.883951579}{993.116048420+6.883951579-1} \]

Výsledok:

\[ 6.907755279\ldots = 6.907755279\ldots \]

Analýza aproximácie \( \pi(x)=\frac{x}{\log(x)} \)

Najskôr preveríme jednoduchší prípad aproximácie \( \pi(x)=\frac{x}{\log(x)} \).

V zmysle obrázka č.7 (pre aproximáciu \( \pi(x) = \frac{x}{\log(x)} \)) dostávame rovnicu:

\[ \frac{x}{\log x} = 1 + \frac{x - \Delta x}{\log (x - \Delta x)} \quad \text{(6.0)} \]

Analytické riešenie rovnice

Skutočné analytické riešenie tejto rovnice je:

\[ \Delta x = x - e^{-W_{-1}\Bigl(\frac{\log(x)}{\log(x)-x}\Bigr)} , \quad \Delta x > 0 \quad \text{(6.1)} \]

Alternatívne:

\[ \Delta x = x - \frac{\log(x)-x}{\log(x)-1}\,W_{-1}\!\left(\frac{\log(x)}{\log(x)-1}\right), \quad \Delta x > 0 \quad \text{(6.2)} \]

Kde \(W_{-1}(z)\) je Lambertova funkcia (referencia (4)).

Derivácia funkcie

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{\log(x)-x}{\log(x)}\,W_{-1}\!\left(\frac{\log(x)}{\log(x)-1}\right) \right) = -\frac{(\log(x)-1)\,W_{-1}\!\left(\frac{\log(x)}{\log(x)-1}\right)^2}{\log^2(x) \Bigl(W_{-1}\!\left(\frac{\log(x)}{\log(x)-1}\right)+1\Bigr)} \quad \text{(6.3)} \]

Limita funkcie

\[ \lim_{x \to \infty} -\frac{(\log(x)-1)\,W_{-1}\!\left(\frac{\log(x)}{\log(x)-1}\right)^2}{\log^2(x) \Bigl(W_{-1}\!\left(\frac{\log(x)}{\log(x)-1}\right)+1\Bigr)} \]

Z hľadiska štandardných matematických funkcií sa nenašiel žiadny uzavretý výsledok.

V zmysle rovnice (5.5) pre \( x > 100 \) musí platiť:

\[ x - \frac{\log(x)-x}{\log(x)}\,W_{-1}\!\left(\frac{\log(x)}{\log(x)-x}\right) \geq x - x^{(x-1)/x} \quad \text{(6.4)} \]

Príklady výpočtov

Príklad 1: \( x = 10^6 \)

\[ \Delta x \approx 14.89353360214\ldots \]
\[ \Delta x_{min} \approx 13.815415124237\ldots \]
\[ \Delta x - \Delta x_{min} \approx 1.078118477907\ldots \]

Príklad 2: \( x = 10^{200} \)

\[ \Delta x \approx 461.519194796772488\ldots \]
\[ \Delta x_{min} \approx 460.517018598809\ldots \]
\[ \Delta x - \Delta x_{min} \approx 1.00217\ldots \]

Z numerických výpočtov by sme očakávali, že limita:

\[ \lim_{x \to \infty} (\Delta x - \Delta x_{min}) = 1 \]

Úprava rovnice (6.0)

Upravme rovnicu (6.0) na tento požadovaný tvar:

\[ \frac{x}{\log x} - 1 - \frac{x-\Delta x}{\log(x-\Delta x)} = 0 \quad \text{(6.5)} \]

Ďalší krok:

\[ \frac{x\,\log(x-\Delta x) - \log(x)\,\log(x-\Delta x) - \log(x)(x-\Delta x)}{\log(x)\,\log(x-\Delta x)} = 0 \]

Zjednodušenie:

\[ (x-\log(x))\,\log(x-\Delta x) - \log(x)(x-\Delta x) = 0 \quad \text{(6.6)} \]

Taylorov rozvoj

Urobme Taylorov rozvoj podľa \( x \) a dostaneme:

\[ \begin{aligned} & (\Delta x + \Delta x \log(x) - \log^2(x)) - \frac{\Delta x (\Delta x - 2 \log(x))}{2x} \\ & + \frac{\Delta x^2 (3 \log(x) - 2 \Delta x)}{6x^2} + O\left(\frac{1}{x^3}\right) \end{aligned} \quad \text{(6.7)} \]

Pre \( x \to \infty \) sa rovnica redukuje na:

\[ \Delta x + \Delta x \log(x) - \log^2(x) = 0 \quad \text{(6.8)} \]

Vyjadrenie \( \Delta x \)

Vyjadríme \( \Delta x \) z rovnice:

\[ \Delta x = \frac{\log^2(x)}{\log(x)-1} \quad \text{(6.9)} \]

Výpočet limity

Podľa (6.4) vypočítame limitu:

\[ \lim_{x \to \infty} \Bigl(\Delta x - \Delta x_{min}\Bigr) = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{\log^2(x)}{\log(x)-1} - \Bigl(x - x^{(x-1)/x}\Bigr)\right] = 1 \quad \text{(6.10)} \]

Výsledok

Rovnica (6.10) ukázala, že rovnica \( \Delta x \geq \Delta x_{min} \) platí až do nekonečna.

Analýza aproximácie \( \pi(x)=\frac{x}{\log(x)-1} \)

Teraz preveríme aproximáciu \( \pi(x) = \frac{x}{\log(x)-1} \) v zmysle rovníc (3.9) a (3.10).

Riešením rovnice (5.1) je:

\[ \Delta x = \frac{(x - \log(x) + 1) \cdot W_{-1} \left(-\frac{\sqrt[1+x-\log(x)]{\frac{e^{x+1}}{x} (\log(x)-1)}}{\,x - \log(x) + 1}\right)}{\log(x)-1} + x \quad \text{(7.0)} \]

V zmysle rovnice (5.5) pre \( x > 100 \) musí platiť:

\[ \Delta x \geq \Delta x_{min} \]
\[ \frac{(x - \log(x) + 1) \cdot W_{-1} \left(-\frac{\sqrt[\,x+1-\log(x)]{\frac{e^{x+1}}{x} - (\log(x)-1)}}{\,x - \log(x) + 1}\right)}{\log(x)-1} + x \geq x - x^{(x-1)/x} \quad \text{(7.1)} \]

Príklad výpočtu

Pre hodnotu \( x = 10^{180} \) máme:

\[ \Delta x = \dots = 414.467741185201\ldots \]

Minimálna hodnota \( \Delta x \):

\[ \Delta x_{min} = 10^{180} - \Bigl(10^{180}\Bigr)^{(10^{180}-1)/10^{180}} = 414.465316\ldots \]

Rozdiel medzi \( \Delta x \) a \( \Delta x_{min} \):

\[ \Delta x > \Delta x_{min}, \quad \Delta x - \Delta x_{min} \sim 0 \]

Z numerických výpočtov by sme očakávali, že limita:

\[ \lim_{x \to \infty} \Delta x - \Delta x_{min} = 0 \]

Teraz preveríme aproximáciu \( \pi(x) = \frac{x}{\log(x)-1} \) v zmysle rovníc (3.9) a (3.10).

Úprava rovnice (5.1)

Upravme rovnicu (5.1) na tento požadovaný tvar:

\[ \frac{x}{\log x-1} - 1 - \frac{x-\Delta x}{\log(x-\Delta x)-1} = 0 \quad \text{(7.2)} \]
\[ \frac{x}{\log(x)-1} - \frac{x}{\log(x-\Delta x)-1} + \frac{\Delta x}{\log(x-\Delta x)-1} - 1 = 0 \quad \text{(7.3)} \]

Rozvoj podľa \( x \)

Puiseuxov rad:

\[ -\frac{2 \Delta x - (\Delta x - 2) \log(x) + \log^2(x) + 1}{(\log(x)-1)^2} + \frac{\Delta x^2 (\log(x)-3)}{2 x (\log(x)-1)^3} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \quad \text{(7.4)} \]

Pre \( x \to \infty \) sa rovnica redukuje na:

\[ -\frac{2 \Delta x - (\Delta x - 2)\log(x) + \log^2(x) + 1}{(\log(x)-1)^2} = 0 \quad \text{(7.5)} \]

Vyjadrenie z rovnice pre \( \Delta x \)

\[ \Delta x = \frac{(\log(x)-1)^2}{\log(x)-2} \quad \text{(7.6)} \]

Výpočet limity

Vypočítame limitu:

\[ \lim_{x \to \infty} \Delta x - \Delta x_{min} = \lim_{x \to \infty} \left[\frac{(\log(x)-1)^2}{\log(x)-2} - \Bigl(x - x^{(x-1)/x}\Bigr)\right] = 0 \quad \text{(7.9)} \]

Rozvoj série pre \( x \to \infty \):

\[ \frac{1}{\log(x)-2} + \frac{\log^2(x)}{2x} + O\left(\frac{1}{x^2}\right) \quad \text{(7.10)} \]

Výsledok

Rovnica (7.9) ukázala, že rovnica \( \Delta x \geq \Delta x_{min} \) platí až do nekonečna.

Analýza aproximácie \( \pi(x)=\frac{x}{\log(x)-\epsilon} \)

Pre aproximáciu platí:

\[ \pi(x) = \frac{x}{\log(x)-\epsilon}, \quad \epsilon = 1+\varepsilon, \quad \varepsilon>0 \quad \text{(8.0)} \]

Riešením rovnice (8.0) je:

\[ \Delta x = \frac{(x+\log(x)+\epsilon) \cdot W_{-1}\!\left(\frac{\left(e^{\frac{\epsilon^2}{x+\epsilon}} \cdot x^{-\frac{\epsilon}{x}}\right)^{\frac{x}{x+\epsilon-\log(x)}} \cdot (\epsilon-\log(x))}{x-\log(x)+\epsilon}\right)}{\log(x)-\epsilon} + x \quad \text{(8.1)} \]

V zmysle rovnice (5.5) pre \( x > 100 \) musí platiť:

\[ \Delta x \geq \Delta x_{min} \quad \text{(8.2)} \]
\[ \frac{(x+\log(x)+\epsilon) \cdot W_{-1}\!\left(\frac{\left(e^{\frac{\epsilon^2}{x+\epsilon}} \cdot x^{-\frac{\epsilon}{x}}\right)^{\frac{x}{x+\epsilon-\log(x)}} \cdot (\epsilon-\log(x))}{x-\log(x)+\epsilon}\right)}{\log(x)-\epsilon} + x \geq x - x^{(x-1)/x} \quad \text{(8.2)} \]

Príklady

Príklad 1:

\[ x = 10^{15}, \quad \varepsilon = 1.0000000000001 \]
\[ \Delta x = \frac{277}{8} = 34.625 \]
\[ \Delta x_{min} = 10^{15} - (10^{15})^{(10^{15}-1)/10^{15}} = 34.538 \]

\( \Delta x > \Delta x_{min} \)

Príklad 2:

\[ x = 10^{16}, \quad \varepsilon = 1.0000000000001 \]
\[ \Delta x = 36 \]
\[ \Delta x_{min} = 10^{16} - (10^{16})^{(10^{16}-1)/10^{16}} = 36.841 \]

\( \Delta x < \Delta x_{min} \) – teda rovnica (8.2) nie je splnená.

Analýza výsledku

Rovnica (8.2) pre aproximáciu (8.0) nebude všeobecne splnená. Aproximácia (8.0) je však v zmysle rovnice (3.8) väčšia ako \( \pi(x) \).

Referencie / References: